Парадокс Кантора заключается в том, что множество всех множеств существовать не может. Его проще всего продемонстрировать, спросив: содержит ли такое множество само себя? Ответ «нет» немедленно ведет к изобретению новых и новых множеств, которые в него тоже не поместятся. Ответ же «да» подсказывает идею о множестве всех множеств, которые сами себя не содержат. Такое множество – оно само себе элемент?

Этот парадокс, как и многие другие, немедленно вызывает желание бежать к каким-нибудь стабильным теоретическим основам. "Начнем с определений", предложит сразу практически любой текст об этом. Но само определение множества – а точнее, все этих определений разнообразие – было введено лишь из-за этого парадокса. Если бы не парадокс, "множество" оставалось бы лишь обычным словом из человеческого языка, которому не нужно было бы никакого математического обоснования. (А если бы определение уже было, то никакого парадокса бы, конечно, не было).

Парадокс Кантора, его открытие оказывается учреждающим событием, из-за которого формируется новый теоретический взгляд. Математические революции двадцатого века, и многие знаменитые парадоксы, которые нам достались от них – скажем, парадокс Рассела, парадоксы Гёделя, – обязаны этому событию и теми вопросами, которые оно поставило, и даже самой спецической формой этого парадокса, которую называют диагональным аргументом.

Полноценной, аксиоматической теории множеств, хотя бы за отсутствием их необходимости, до этих парадоксов не было. Но история математики склонна конструировать в этом прошлом то, что она называет "наивной теорией множеств", выдавая практику использования математиками языка за использование уже существующей теории. Таким образом, там, где математическая практика столкнулась с необходимостью теории, теория хочет видеть лишь свое собственное саморазвитие.

Парадокс сохраняется в истории математики через альтернативные теории, справляющиеся с ним – именно они указывают на то, что теория была лишь одним из возможных вариантов справиться, что ее запрет отчасти произволен. Одну из важнейших альтернатив Канторовскому подходу к теории множеств, интуиционизм создал Брауэр, которого в решении Кантора не устраивала его готовность признавать среди множеств разные виды бесконечности. Для Брауэра бесконечность была лишь одного вида – математике актуально не доступного. Размышляя о парадоксе Кантора, он находит ему другое решение – которое, вместо поиска адекватных критериев для разного рода бесконечных множеств, фокусируется на самом процессе математического рассуждения и отвергает рассуждения о бесконечности как такие, что тянулись бы бесконечно.

Такой подход приводит к совершенно другой математике, во многом не совместимой с классической. Несмотря на общие между ними понятия и разделы – другими словами, несмотря на то, что пытались они говорить об одних и тех же вещах – подходы к доказательствам, ограничения и возможности этих математик были крайне, несовместимо различны. Одно из самых контринтуитивных требований интуиционизма – отказ от исключенного третьего или доказательств от противного, важнейшего логического инструмента, без которого невозможно представить мышление. Для многих, включая Бадью (чья философская позиция выдает произвол решения Кантора за онтологический абсолют, повторяя тем самым контуры политического консерватизма), такого рода требование – не более чем бессмысленное упражнение, вредное для математики; математика не сразу поняла, какое у интуиционизма может быть применение.

Жан-Ив Жирар описывает то, что произошло в итоге, как настоящую войну, в которой Брауэр остался ренегатом-партизаном, подавляемым тогдашним королем математики Гильбертом (унаследовавшим программу-конституцию новой аксиоматизации математики, необходимость которой была ясна с парадоксом Кантора). В итоге Брауэр умер в одиночестве и паранойе, возможно, даже не подозревая, что его маргинальный, эзотеричный подход к математике вдруг найдет свой объект.

Помимо Брауэра, важнейшими адептами интуиционизма были Колмогоров, не чуждый той смелой, упрямой интеллектуально независимой манере, что легко ассоциируется с безумием, и Андре Вайль – брат Симоны. Интуиционизм оставался весьма эзотеричным подходом к математике, пока не появилось (точнее, не доросло до этой встречи) механическое устройство, сущность которой она могла хорошо описать.

Вполне возможно, что Брауэру даже в голову не приходило ничего похожего на компьютер. Но его интуиционистская логика – которой он пытался описать то, как в своей "интуиции" рассуждает математик, или в чем именно процесс вычисления – оказалась к действию компьютера прямо применима. Есть множество видов компьютеров, которые можно программировать на множестве языков; computer science могла бы оставаться "феноменологией Тьюринг-машин", просто описывая всевозможные виды вычислительных изобретений (как об этом, кстати, мечтал Симондон). Но все процессы, алгоритмы, вся эта странная форма существования компьютеров оказалась очень хорошо и сжато описываемой той самой странной, эзотерической интуиционисткой логикой. У алгоритмов, которые кажутся верхом технологической, абстрактной, произвольной изобретательности человека, нашлась математическая сущность, существующая вне зависимости от конкретной технической основы – и не совпадающая с той логической интуицией, что кажется людям естественнее всего.